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定積分【ていせきぶん】

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

定積分
ていせきぶん
definite integral
区間 [ab] で定義された関数 f(x) の定積分とは,次のようにして得られた数値のことである。区間 [ab] を,分点 ax0x1x2<…<xn-1xnb によって n 個の小区間に分割し,点 ξixi-1≦ξixi(i=1,2,…,n) となるように任意にとり,Snf(x1)(x1x0)+f(x2)(x2x1)+…+f(xn)(xnxn-1)=Σfi)(xixi-1) をつくる。 Sn を上の分割に対する f(x) のリーマン和という。さて,Δxixixi-1 とおき,ここで Δxi の最大のものを限りなく0に近づけたとき,分点の位置や点 ξi の選び方には無関係に,n→∞ のとき Sn の極限値が有限の値として存在するならば,f(x) は区間 [ab] で積分可能,あるいはリーマン可積分であるといい,
と書いて,f(x) の [ab] における定積分またはリーマン積分という。つまり,Δx が無限小 dx になったときの和 Σf(x)Δx である。この場合,右辺の記号を積分記号 (これは sum のSの長字体) ,f(x) を被積分関数,a を積分の下端,b を積分の上端という。また右辺の解を求めることを f(x) を a から b まで積分するという。 f(x) が [ab] で連続であれば,xi および ξi の選び方には無関係に,その定積分は存在する (積分の存在定理) 。定積分には次のような基本的性質がある。
abc は任意の定数である。

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デジタル大辞泉

てい‐せきぶん【定積分】
積分2

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世界大百科事典 第2版

ていせきぶん【定積分】

出典:株式会社平凡社
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大辞林 第三版

ていせきぶん【定積分】
〘数〙 区間 [a , b ] で定義された関数 f x )に対し、この区間を小区間に分割し、各小区間の一点における関数値と小区間の幅との積の和をつくる。各小区間の幅が限りなく小さくなるように区間を分割するとき、この和がつねに一定の値に限りなく近づくならば、その値を f x )の a から b までの定積分といい、∫〓f x d x で表す。f x )の値が正のとき、これは y f x )のグラフと x 軸および二直線 x a , x b とで囲まれた部分の面積を表す。

出典:三省堂
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日本大百科全書(ニッポニカ)

定積分
ていせきぶん

出典:小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)
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精選版 日本国語大辞典

てい‐せきぶん【定積分】
〘名〙 関数と区間に付随する数値の一つ。関数 y=f(x) が区間[a, b]で負の値をとらないとき、そのグラフとx軸、および直線 x=a, x=b で囲まれる図形の面積を y=f(x) のaからbまでの定積分といい、と表わす。負の値をもとる場合には、右の図形のx軸よりも下の部分の面積を負として計算する。〔数学ニ用ヰル辞ノ英和対訳字書(1889)〕

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