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命題論理学【めいだいろんりがく】

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

命題論理学
めいだいろんりがく
propositional logic
現代論理学複合命題とその相互関係を記号により体系化し,主としてその真偽命題偽を真理という)を研究する分野。述語論理学が命題の主語述語の関係などの内部構造を分析するのに対して,命題論理学はこれに立ち入らず,要素命題を最終的な単位として取り扱う。p,qなどで表される要素命題と,否定(¬),連言(∧),選言(∨),含(⊃)などの論理演算子を組み合わせて記号列が得られる。一定の定義に従う記号列を論理式というが,式中の要素がいかなる真理値でも式全体が必ず真なるときトートロジー(逆は矛盾式)と呼び,トートロジーのすべてを導出する一連の公理を公理体系といい,さまざまな体系が考えられている。ある体系内で任意の論理式 Aについて,Aと¬Aが同時に証明されないとき,この体系は無矛盾であり,すべてのトートロジーが証明可能のとき,完全であるという。

出典:ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
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世界大百科事典 第2版

めいだいろんりがく【命題論理学 propositional logic】
論理的に不可分な意味の単位として命題(事実を記述し,真ないしの値をとることができる)を考え,命題相互の論理関係を主題とする科学。現代論理学の最も基礎的な部分を構成する。
[命題論理のコトバ
 1個の命題に付け加わり,あるいは2個の命題を結合することによって新たな命題を作るコトバを(命題論理の)論理語と呼ぶ。ふつう命題論理学が選ぶ論理語は,〈……でない〉〈……そして……〉〈……または……〉〈……ならば……〉の4個である。

出典:株式会社平凡社
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大辞林 第三版

めいだいろんりがく【命題論理学】
命題の内部構造にまでは立ち入らず、要素となる命題を否定・連言・選言・含意・等値によって結合して得られる複合命題の真偽や推論形式の妥当性を調べる論理学の基礎的分野。ここで最小単位とされた命題の内部構造にまで分析を進めると、述語論理学へと発展する。

出典:三省堂
(C) Sanseido Co.,Ltd. 編者:松村明 編 発行者:株式会社 三省堂 ※ 書籍版『大辞林第三版』の図表・付録は収録させておりません。 ※ それぞれの用語は執筆時点での最新のもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。

日本大百科全書(ニッポニカ)

命題論理学
めいだいろんりがく
propositional logic
現代論理学のなかで、連言記号と否定記号だけを使って表現できる推論の形式を扱う分野。たとえば、
 AならB
 A
 ゆえにB
という、伝統的論理学の時代に「仮言三段論法」とよばれた推論も、命題論理学の守備範囲に入る。なぜなら、
 AならB
は、くどくなるのをいとわなければ
 (Aで(Bではない))ではない
といいかえることができるが、このいいかえた形は、「で」にあたる連言記号「∧」と、「ではない」にあたる否定記号「¬」を使って、
 ¬(A∧(¬B))
と表すことができるからである。この例から察せられるように、伝統的論理学の仮言三段論法は、命題論理学にすべて吸収できる。また、
 AかB
 Aではない
 ゆえにB
を一例とする選言三段論法も、命題論理学に吸収できる。定言三段論法は、述語論理学に吸収するのが自然であるが、記号の解釈を変えることにより、命題論理学のなかに吸収することもできる。つまり、伝統的論理学の行った推論の形式の整理分類は、すべて命題論理学に吸収できるのである。
 また、記号を論理素子に対応させれば、命題論理学は、コンピュータの論理設計について述べているものと解釈することができる。神経のシナプスの働きが論理素子の働きと同様なものと考えられる限りでは、神経網の論理的モデルをつくるのに命題論理学の成果を利用することもできる。
 次に、たとえば、
 (AでAではない)ではない
という形式の当てはまる命題はすべて正しいので、この形式は論理的に正しいものであるという。命題論理学の記号だけで書かれた形式には、それがどんなに長くても、どんなに入り組んでいても、論理的に正しいかどうかを機械的に決める方法、いわゆるアルゴリズムがある。これは命題論理学の著しい特色であって、述語論理学の扱う形式の正否を決めるアルゴリズムは存在しないのである。[吉田夏彦]

出典:小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)
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