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主成分分析

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主成分分析
主成分分析とは複数変数を合成して元の変数を減らし、全体を少数の変数で説明できるようにする多変量解析の手法のことをいう。

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世界大百科事典 第2版

しゅせいぶんぶんせき【主成分分析 principal component analysis】
統計的多変量解析法の基本的手法。ある集団についてその個体の特徴が多くの変数で測定されているとき,個体の特徴を総合的に表現する少数の指標を求めることを目的とする。例えば,各企業の活動結果や財務状況は売上高,利益,資本金,負債額など多くのデータで示されるが,企業の評価のための少数の指標(主成分または成分といわれる)が主成分分析によって構成される。 変数を仮に3個としてx,y,wと書くと,主成分はzaxbycwというように変数の一次結合(重みつきの和)として表現され,個体ごとの(x,y,w)の値を代入して主成分値が求められる。

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大辞林 第三版

しゅせいぶんぶんせき【主成分分析】
多変量解析の手法の一。外的な基準のない標本データからそのデータの特性を説明する主成分を抽出すること。

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(C) Sanseido Co.,Ltd. 編者:松村明 編 発行者:株式会社 三省堂 ※ 書籍版『大辞林第三版』の図表・付録は収録させておりません。 ※ それぞれの用語は執筆時点での最新のもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。

最新 心理学事典

しゅせいぶんぶんせき
主成分分析
principal component analysis
PCAと略称される。多数(個)の変数の変動をより少数(個)の成分に縮約するための多変量解析法である。個体に対する変数のデータijからなる個体×変数のデータ行列XにPCAを適用すると,個体の第主成分得点principal component score fir=1,…,),さらに変数の第主成分への負荷量loading ajrが得られる。たとえば5変数の散布図は,3次元の世界に住むわれわれには描けないが,第1,第2主成分得点i1i2を座標値とした散布図で5変数の主要変動を可視化でき,変数と主成分の関係はajrから解釈できる。以下,データijは,個体を通した平均が0の平均偏差得点とする。PCAの定式化は2種に大別される。

 その一つはホテリングHotelling,H.(1933)により,分散最大maximum varianceの変数の重みつき合計weighted sum of variablesを求めることとして,PCAは定式化される。すなわち,jrで重みづけられた変数ijの合計



を個体の第主成分得点とする。ただし,第1主成分得点の重みj1は,条件



のもとで,個体を通した



の分散を最大にするj1である。したがって,i1は個体差を最大にする得点となる。さらに,第2以降の主成分得点の重みjr≧2)は,得点がそれより上位の主成分得点と無相関になり,かつ



という条件のもとで,個体を通したirの分散を最大にするjrである。

 もう一つの定式化はピアソンPearson,C.(1901)に由来し,PCAを主成分得点の重みつき合計weighted sum of principal component scoresによるデータ近似data approximationとみなすものである。すなわち,負荷量jrで重みつけられた得点irの合計



とデータijとの残差平方和



を最小にする



を求めることとして,PCAは定式化される。ここで,Fはirからなる個体×成分の主成分得点行列,Aはjrからなる変数×成分の負荷行列である。A′Aを単位行列とする制約条件下では,irの解は前段の



と一致する。また,ijが標準得点のとき,-1F′Fを単位行列とする制約条件下では,負荷量jrの解は,変数と第主成分得点の相関係数と一致する。

 後者の定式化で重要になるのは,いかなる行列も三つの行列の積KΛL′に分解されることであり,これを特異値分解singular value decomposition(SVD)とよぶ。ここで,K′KとL′Lは単位行列,Λは対角要素が降順の対角行列である。データ行列XのSVDをX=KΛL′と表わすと,残差平方和∥X-FA′∥2を最小にするFA′がKmΛmL′mとなることを,エッカートEckart,C.とヤングYoung,G.(1936)が証明している。ここで,ΛmはΛの左上の要素からなる×の対角行列,KmとLmはそれぞれKとLの上位列からなる。なお,X=KΛL′より-1X′X=L(-1Λ2)L′であり,-1Λ2の対角要素が共分散行列の固有値eigenvalueとなる。

 PCAの拡張手法に,タッカーTucker,L.R.(1966)が草案し,1980年以降にオランダの計量心理学者を中心に確立された三相主成分分析three-way principal component analysisがある。これは三相配列のデータから,各相に対応する成分を求めるPCAである。三相配列の例として,複数受験者が複数条件で複数のテストを受けて得られる受験者×条件×テストの得点が挙げられ,この条件では受験者・条件・テストが相となる。 →因子分析 →多変量解析
〔足立 浩平〕

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