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一様収束【いちようしゅうそく】

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

一様収束
いちようしゅうそく
uniform convergence
変数関数列 f1(x) ,f2(x) ,…,fn(x) が閉区間[ ab ]で定義されているとき,この区間のすべての変数 x に対して,n→∞ のとき,関数列 {fn(x)} の極限値 (極限関数) (x) が存在すれば,この関数列は区間[ ab ]で収束するというが,そのとき fn(x) と f(x) との差の限界が n に依存する可能性がある。これが n について一様に小さくできるとき,すなわち,任意の整数 ε に対して,x に無関係な数 n0 が存在し,nn0 を満足するすべての n に対して,区間[ ab ]で,|fn(x)-f(x)|<ε となるとき,関数列 f1(x) ,f2(x) ,…,fn(x) は区間[ ab ]で f(x) に一様収束するという。また,実変数の級数についてはその部分和の関数列が,ある集合 D で一様収束すれば,この級数は集合 D 上で一様収束するという。複素変数関数の一様収束級数は,実変数の場合と同様にして定義することができる。その性質も同じである。

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日本大百科全書(ニッポニカ)

一様収束
いちようしゅうそく
uniform convergence
関数の列f1(x),f2(x),……や、関数を項とする級数

が収束する状況を示す術語。
 関数g(x)が関数f(x)に近いというのは、常識的には、図Aのようにy=f(x)のグラフを中心として上下に小さな幅εの帯を考えたとき、y=g(x)のグラフがこの帯のなかに入ってくることと考えられる。このように、考察している範囲内のどのxについても同様の近さで収束していくのが一様収束である。これは、単に各点で

が成立しているというだけでは実現されない。関数列

では、各点でゼロに収束するけれども、図Bに示すように、見た目にはそのような印象は得られない。この一様収束が重要な理由は、次の定理が成立するためである。(1)連続関数の一様収束極限は、また連続関数である。(2)関数列が一様収束すれば、極限関数の積分は、各関数の積分の極限に等しい。つまり、一様収束fn(x)→f(x)のとき、

 なお、関数項級数の一様収束は、その部分和の列の一様収束で定義されるが、これを判定するための次の定理はきわめて有用である。[竹之内脩]

ワイエルストラスの優級数定理

関数項級数

があり、すべてのxについて、

が収束を満足する数列{Cn}が存在すれば、(*)は一様収束である。[竹之内脩]

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